|
|
|
SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a , b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir. Yani : (a , b ) ≠ (b , a ) dir. A B x O y 3 3 1 1
Örnek : A( 1 , 3 ) noktası ile B( 3 , 1 ) noktası eşit noktalar değildir. Noktalar kümesinin elemanları sıralı ikililerdir.
( a , b ) ikinci bileşen birinci bileşen Sıralı ikililerin bileşenleri birinci bileşen, ikinci bileşen olarak adlandırılır.
Sıralı İkililerin Eşitliği :
Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır. Yani (x , y ) = (a , b ) ise x = a ve y = b ÖRNEK : ( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 ) ise x ve y sayıları kaçtır? Çözüm : Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır.
Yani x +3 = 6 y – 1 = 4 x = 6 – 3 y = 4 + 1 x = 3 ve y = 5 bulunur.
( x + 3 , y – 1 ) = ( 6 , 4 )
1. ( x + 3 , y + 1 ) = ( 1 , 2 ) ise x = ? ve y = ? 2. ( 2x , y - 5 ) = ( 8 , -3 ) ise x = ? ve y = ? 3. ( x/2 , 3y ) = ( 6 , 0 ) ise x = ? ve y = ? 4. ( 2x + 1 , 4 ) = ( 7 , y - 2 ) ise x = ? ve y = ?
KARTEZYEN ÇARPIM A ve B herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni A’ dan, ikinci bileşeni B’ den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin kümesine, A ile B’ nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Buna göre; şeklinde gösterilir. ÖRNEK : A = {1,2 } , B = {3,a} olduğuna göre A x B ve BxA kümelerini yazınız. ÇÖZÜM : AxB ≠ BxA AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } BxA = {(3 ,1), (3,2 ), (a ,1), (a , 2)} AxA = {(1,1), (1,2), (2 ,1), (2 ,2) }
ÖRNEK : Aynı futbol takımında oynayan Ali, Sertaç ve Tamer, 7, 10 ve 11 numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazalım. ÇÖZÜM : A kümesi A = { Ali , Sertaç , Tamer } = { A , S , T } B kümesi B = { 7 , 10 , 11 } A X B = { (A, 7 ), (A, 10), (A, 11 ), (S,7 ), (S,10 ), (S,11 ), (T, 7 ), (T, 10 ), (T, 11 ) }
Kartezyen çarpımın analitik düzlemde gösterilmesi Kartezyen çarpıma katılan kümeler sayı kümesi olursa sıralı ikililer nokta gösterir. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri x ekseni üzerinde, ikinci bileşenleri y ekseni üzerinde işaretlenir. x O y 2 1 1 -1 ÖRNEK : A = { -1, 1, 2 } , B = { 0, 1 } olduğuna göre A x B kümesini analitik düzlemde gösterelim. ÇÖZÜM : A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )}
ÖRNEK : A X B = { (-1 , 0 ), (-1 , 1), (1 , 0 ), ( 1 , 1 ), ( 2 , 0 ), (2 , 1 )} kartezyen çarpımını oluşturan A ve B kümelerini yazalım. ÇÖZÜM : Birinci bileşenler A kümesini, ikinci bileşenler B kümesini oluşturur. Tekrar eden eleman küme içine bir kez yazılır. A kümesi A = { -1, 1 , 2 } B kümesi B = { 0, 1 } ÖRNEK : A X B = { ( 0 , 0 ), ( 0 , 1), ( 0 , 2 ), ( -3 , 0 ), ( -3 , a ), (-3 , 2 )} kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır? ÇÖZÜM : 0 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri 0, 1, 2 dir. –3 ile başlayan sıralı ikililerin ikinci bileşenleri de 0, 1, 2 olmalıdır. Bu nedenle a elemanı 1 olmalıdır. Yanda AXB kümesinin grafiği verilmiştir. Buna göre ; AUB = ? A∩B = ? A / B = ? O x y 2 1 -1 3 -3 2 1
ÇÖZÜM : Noktaların apsisleri A kümesinin elemanlarını, noktaların ordinatları B kümesinin elemanlarını verir. A kümesi A = { -1, 1 , 2 , 3 } B kümesi B = { -3 , 0, 1 , 2 } AUB = { -3 , -1, 1 , 0 , 2 , 3 } A∩B = { 1 , 2 }
1. A = { 0, 1, 2 ) ve B = { -2, 2 } ise AXB = ? 2. A = { -2, 0, 3 ) ve B = { -1, 0, 1 } ise AXB = ? 3. A = { 2, 3, 4, 5 ) ve B = {6 } ise AXB = ? 4. A = { -1, 1, 2 ) ve B = { -3, 2, 5 } ise AXB çarpımını analitik düzlemde gösteriniz. 5. A X B = { (A, 2 ), (A, 5), ( B, 2 ), ( B, 5 ), ( C, 2 ), ( C, 5 ) } ise A ve B kümelerini yazınız. 6. A X B = { ( 2 , 2 ), ( 2 , 5), ( 2 , 8 ), ( 3 , 2 ), ( 3 , 5 ), ( 3 , 8 ), ( a , 2 ), ( 4 ,5 ),( 4 , 8 ) } kartezyen çarpımında a ile gösterilen sayı kaçtır? 7. A X B = { (-3, -2 ), (-3, 1), ( 0, -2 ), ( 0, 1 ), ( 2, -2 ), ( 2, 1 ) } ise AUB kümesini yazınız.
KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLİKLERİ S(A) ; A kümesinin eleman sayısını göstermektedir. 1) s(AxB) = s(BxA) = s(A).s(B) 2) A≠B ise AxB ≠ BxA değişme özelliği yoktur. 3) (AxB)xC = Ax(BxC) birleşme özelliği vardır . 4) Ax(BUC) = (AxB)U(AxC) 5) Ax(B ∩C) = (AxB) ∩ (AxC) 6) AxA = A²
ÖRNEKLER 1. A = { 2, 5 } , B= { -1, 1, 3 } ve C = { 0, 4 } ise (AxB)U(AxC) kümesini bulalım.
ÇÖZÜM : (AxB)U(AxC) = Ax(BUC) olduğundan önce BUC kümesini buluruz.
BUC = { -1, 0, 1, 3, 4 }
Ax(BUC) = { ( 2, -1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 2, 3 ), ( 2, 4 ), ( 5, -1 ), ( 5, 0 ), ( 5, 1 ), ( 5, 3 ), ( 5, 4 )}
2. A, B ve C üç kümedir. s(BUC) = 4 ve s[Ax(BUC)] = 32 olduğuna göre A kümesinin kaç elemanı vardır? ÇÖZÜM : s[Ax(BUC)] = S(A). S(BUC) = 32 S(A). 4 = 32 S(A ) = 32:4 = 8 elemanı vardır. 3. A = { x : 2 < x < 5 ve x tam sayı } , B = { x : -1 < x < 7 ve x tam sayı } ise Ax(B∩A) kümesinin eleman sayısını bulalım. ÇÖZÜM : A = { x : 2 < x < 5 ve x tam sayı } = { 3 , 4 }
B = { x : -1 < x < 7 ve x tam sayı } = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
B∩A = { 3 , 4 } ve s [Ax(B∩A)] = s(A).s(B∩A) = 2.2 = 4 bulunur. 1. A = { 0, 1, 3, 5 } , B = { -1, 1, } ve C = { 2, 3, 5 } ise Ax(BUC) kümesini bulunuz. 2. A , B ve C üç kümedir. s(B∩C) = 5 ve s[Ax(B∩C)] = 45 olduğuna göre A kümesi kaç elemanlıdır? 3. AXB = { ( 0, -1 ), ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 3 ), ( 0, 4 ), ( 3, -1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 3, 3 ), ( 3, 4 )} olduğuna göre A∩B = ? 4. A = { x : -2 < x < 2 ve x tam sayı } ve B = { x : -5 < x < 0 ve x tam sayı } kümeleri veriliyor. (AxB) ∩ (AxC) kümesini bulunuz.
BAĞINTI
Günlük hayatımızda bağıntı sözcüğünü sıkça kullanırız. Matematikte kartezyen çarpımın alt kümelerine Bağıntı denir.
Tanım : A ve B herhangi iki küme olsun. AxB ‘ nin her alt kümesine , A’ dan B’ ye bir bağıntı denir.
UYUMA : AxA ‘ nın her alt kümesine A’ dan A’ ya bir bağıntı ya da A’ da bir bağıntı denir.
ÖRNEK : AxB = {(1,3), (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } kartezyen çarpımının 4 tane elemanı vardır. Bu kümenin alt kümeleri sayısı 24 = 16 ‘dır. O halde A ‘ dan B ‘ ye 16 tane bağıntı tanımlanabilir. Örneğin β1 = {(1,3), (1,a) } ve β2 = { (1,a), (2 ,3), (2 ,a) } alt kümeleri A dan B ye birer bağıntıdır.
SONUÇ : s(A) = m ve s(B) = n ise A dan B ye tanımlanabilen bağıntı sayısı 2m.n tanedir.
ÖRNEKLER
1. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x + y = 2 } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım.
ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde olan ve x ile y nin toplamı 2 olan sıralı ikilileri yazın diyor.
Bunlar: β = {(0,2), (1,1), (2,0) } olur
2. Doğal sayılar kümesinde β = {(x,y)| x > y } bağıntısının sıralı ikililerini yazalım.
ÇÖZÜM : Bağıntı (x , y ) şeklinde ve x in y den büyük olduğu sıralı ikilileri yazın diyor. Bu sıralı ikililerin tümünü yazamayız.
Bu nedenle β = {(1,0), (2,0), (3,0),..., (2,1), (3,1), (4,1),..., } şeklinde bu bağıntının sıralı ikililerini gösterebiliriz.
3. Reel sayılar kümesinde β = { (x,y) | l x l = 3 ve x+2> y > 0 } bağıntısının gösterdiği alan kaç birim karedir?
ÇÖZÜM : l x l = 3 demek x = ± 3 demektir. x = 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani 5 > y > 0 olur. x = - 3 ' ü ikinci eşitsizlikte yerine yazarsak x + 2 > y > 0 , yani -1> y > -3 olur. Bölge bir kenarı 6 birim olan karedir. Alanı 6x6 = 36 olur.
Bağıntının Özellikleri
Yansıma Özeliği
TANIM : Her eleman kendisi ile bağıntılı ise bu bağıntıya yansıyan bağıntı denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir. β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her x elemanı için ( x , x ) Є β olursa β bağıntısı yansıyandır.
ÖRNEK İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ eşit boylu olma “ bağıntısı olsun. Bu bağıntı yansıyandır. Çünkü her insan kendisi ile eşit boydadır.
ÖRNEK β = { (x , y) | y > x , ve x ile y doğal sayı } bağıntısı yansıyan olamaz. Çünkü doğal sayılar kümesinde hiçbir doğal sayı kendisinden büyük olamaz. Bu bağıntının elemanlarını yazalım. β = { (1 , 0), (2 , 0), (3 , 0), (4 , 0), (5 , 0),... } Beta bağıntısında (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) şeklinde sıralı ikililer yoktur. Beta bağıntısı yansıyan değildir.
Simetri Özeliği
TANIM : Tanım kümesinden alınan iki eleman x ve y olsun. x ile y bağıntılı iken y ile x de bağıntılı olursa bu bağıntıya simetrik bağıntı denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir. β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her x , y elemanı için ( x , y ) Є β iken ( y , x ) Є β olursa β bağıntısı simetriktir.
ÖRNEK İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ arkadaş olma “ bağıntısı olsun. Bu bağıntı simetriktir. Çünkü x ile y arkadaş ise y ile x de arkadaştır.
ÖRNEK β = { (x , y) | x + y = 3 , ve x ile y doğal sayı } bağıntısı simetriktir. Çünkü doğal sayılar kümesinde x + y = 3 ise y + x = 3 olur. Bu bağıntının elemanlarını yazalım. β = { (0 , 3), (3 , 0), (1 , 2), (2 , 1) } Beta bağıntısında (0 , 0), (1 , 1), (2 , 2), (3 , 3), (4 , 4) şeklinde sıralı ikililer yoktur. Beta bağıntısı simetriktir ama yansıyan değildir.
Ters Simetri Özeliği
TANIM : Tanım kümesinden alınan iki farklı eleman x ve y olsun. x ile y bağıntılı iken y ile x de bağıntılı olmaz ise bu bağıntıya ters simetrik bağıntı denir. Bu ifadenin matematik dilinde yazılışı şöyledir. β , A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. A daki her farklı x , y elemanı için ( x , y ) Є β iken ( y , x ) Ï β olursa β bağıntısı ters simetriktir. Eşit sıralı ikililer ters simetrikliği bozmaz.
ÖRNEK İnsanlar kümesinde β bağıntısı “ uzun boylu olma “ bağıntısı olsun. Bu bağıntı ters simetriktir. Çünkü x , y gibi farklı boyda iki insan alırsak x > y olur ama y > x olmaz.
ÖRNEK : Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir. 1. İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı kendi mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur? ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her insanın en fazla bir ve en az bir tane mesleği olmalıdır. Oysa gerçekte bazı insanların iki mesleği olduğu gibi bazı insanlarında mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
2. Hayvanlar kümesinden yuvalar kümesine tanımlanan ve her hayvanı kendi yuvasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur? ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en fazla ve en az bir tane yuvası olmalıdır. Oysa gerçekte bazı hayvanların yuvalarının olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
3. Çocuklar kümesinden babalar kümesine tanımlanan ve her çocuğu babasıyla eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur? ÇÖZÜM : Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en fazla ve en az bir tane babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun mutlaka bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması biyolojik olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur. UNUTMA : Birkaç çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.
4. Bir fabrikadaki işçilerle aldıkları ücretleri eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur? ÇÖZÜM : Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü bedavaya çalışan olmayacağı için her işçinin bir ücreti mutlaka vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki ücret vermeyeceğine göre her işçinin en fazla bir tane ücreti vardır. O halde bu bağıntı fonksiyondur.
Fonksiyonlar genellikle yapılan eşlemeyi ifade eden kurallarla verilir.
ÖRNEK : f : A = { 1, 2, 3 } B f(x) = 2x + 3 fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım: Burada tanım kümesinin elemanları ( orijinaller ) verilmiş fakat görüntüler verilmemiştir.
Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız.
1 in görüntüsü f(1) = 2.1 + 3 = 5 2 nin görüntüsü f(2) = 2.2 + 3 = 7 3 ün görüntüsü f(3) = 2.3 + 3 = 9 f = { (1,5), (2,7), (1,c) , (3,9) } şeklinde gösterilir.
ÖRNEK : f = { (-4,3), (0,2), (1,5) , (2,-1), (-3,9), (3,2), (-2,-1) } fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları çözelim: 1. 1. 1. Tanım kümesi nedir? 2. 2. 2. Görüntü kümesi nedir? 3. 3. 3. f(2) = ? 4. 4. 4. f(-3) = ? 5. 5. 5. f(5) = ? ÇÖZÜM : 1. Sıralı ikililerin birinci bileşenleri tanım kümesinin elemanlarını verir. A = { - 4, -3 , -2 , 0 , 1 , 2 , 3 } 2. Sıralı ikililerin ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanlarını verir. B = { -1 , 2 , 3 , 5 , 9 }
3. f(2) = ? sorusu " 2 ' nin görüntüsü kaç demektir" 2 ' nin görüntüsü sıralı ikilide 2 nin karşısındaki sayıdır. f(2) = -1
4. f(-3) = ? sorusu " -3 ' ün görüntüsü kaç demektir" -3 'ün görüntüsü sıralı ikilide -3 ün karşısındaki sayıdır. f(-3) = 9
5. f(5) = ? sorusu " 5 ' in görüntüsü kaç demektir" 5 'in görüntüsü sıralı ikilide 5 in karşısındaki sayıdır. Sıralı ikililerin hiç birinde 5 birinci bileşen olarak yer almamıştır. Yani bu fonksiyon 5 için tanımlanmamıştır. 5 in görüntüsü yoktur.
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
SABİT FONKSİYON : f : A B fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon denir ve her x є A iзin f (x) = b юeklinde gцsterilir. ÖRNEK : A = { 2 ,5 ,7 , } olmak üzere f : A B f (x) = 6 fonksiyonu sabit fonksiyondur. Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 ‘ dır .
ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur.
BİRİM FONKSİYON
f : A B f(x) = x
f fonksiyonuna birim fonksiyon denir . Yani her elemanın görüntüsü kendisine eşittir . Birim fonksiyon genellikle I (x) ile gösterilir.
ÖRNEK : Aşağıda A = { a,b ,c } kümesinde şema ile tanımlanan I : A A fonksiyonu birim fonksiyondur Çünkü : I(x) = x olur. I (a) = a , I (b) = b , I (c) = c dir . ÖRNEK : Bir kameranın fonksiyonu görüntü almaktır. Kamera ile bir maçı çekersek sonradan seyrettiğimizde kameranın her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirdiğini görürüz. Yani hiçbir zaman Ahmet in görüntüsü Mehmet olmaz. Kamera her cismi kendi görüntüsü ile eşleştirir. Kameranın fonksiyonu sabit fonksiyondur.
İÇİNE FONKSİYON
f : A B fonksiyonunda orijinallere ait görüntüler görüntü ( B ) kümesinin alt kümesi oluyorsa f , içine fonksiyondur . ÖRNEK: Şemada tanım kümesi A = { a , b , c } ve görüntü kümesi B = { 1, 2, 3, 4 } dür. Orijinallerin görüntülerinden oluşan görüntü kümesi f (A) = { 1, 2 } dir. { 1, 2 } C { 1, 2, 3, 4 } olur. f (A) kümesi B ' nin alt kümesidir. Fonksiyon içinedir. Sözün özü B kümesi A kümesinin görüntüleri ile örtülmezse fonksiyon içine olur
|