Belirsiz Integral

I.3.2 Kısmi İntegrayon Yöntemi: U ve v ile, x’in bir [a,b] aralığında sürekli türevleri olan iki fonksiyonunu gösterelim. uv çarpımının diferensiyeli d(uv) = udv + vdu ‘ dır. Buradan udv=d(uv)-vdu yazılır. Bu bağlantının iki tarafının belirsiz integralleri birbirine eşittir: ∫udv = ∫d(uv) – vdu veya ∫udv = uv – ∫vdu ‘ dur. Kısmi integrasyon metodu bu formül ile verilmiştir ve yöntemin esası hesaplanması istenilen ∫ udv yerine hesaplanması daha kolay olabilen ∫ vdu belirsiz integralini kaymayı mümkün kılar. II. BELİRLİ İNTEGRAL II.1 Belirli İntegralin Tanımı: f(x) , x = a dan x = b’ye kadar olan aralıkta sürekli bir fonksiyon olsun. Bu aralığı , apsisleri a, ,….,xn - 1, b olan n parçaya bölelim. Aralıkların boyları, , …. , ∆xn olsun. Bu aralıkların her birinde x’in x’1, x’2 , x3’…., x’n gibi herhangi değerleri alalım f(x)’in x = a , x=b imitleri arasındaki belirli integrali diye: f(x) dx = ℓim f(x ∆x, + ℓ( ’) x2+… + f( 1) n→ 8 = ℓim ∑ f(xi1) xi n→ 8 =| ∫ f(x) dx| b = F(x) b = F(b) – F(a) Ya denir. Buradaki F(x) fonksiyonu türevi f(x) olan bir fonksiyondur. II.2.Belirli İntegrale Ait Başlıca Teoremler B f1(x) + f2(x) +….+ fn (x) dx= f1 (x) dx + b f2(x) dx +…+ b fn (x) dx k.f (x) dx = k. B f(x) dx f (x) dx = - a f(x) dx f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx f(x) dx = (b-a)f(x1) f(x)dx = Lism f(x) dx III. İNTEGRALLERİN HESAPLAMA YÖNTEMLERİ III.1.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali (Yarım Açı Metodu) P(x,y), Q(x,y), x ve y’bir polinom olmak üzere I.1 R (x,y), x veya y’li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur. Trigonometriden sinx= , cosx= olduğu biliniyor. R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere ∫R (sinx,cosx) dx integrali u = tan değişken dönüştürme ile R , u’nun rasyonel fonksiyonu Olmak üzere ∫R,(u )du şekline dönüşür. Gerçekten x = 2Arctonu dx = sinx = Tan COSX = eşitlikleri kullanılarak ∫R(sinx , cosx) dx integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüşmüş olur. I.2. ∫sinax.coobxdx, ∫sinax.sinbxdx , ∫cosax coobx şeklinde integraller Bu integrali almak için Sinax . Sinbx = [cos(a-b)x- cos (a+b)x] sinax . cosbx = [ sin(a-b)x – sin (a+b)x] Sinax . cosbx = [cos (a-b)x- cos(a+b)x]

İcerigi:
I.3.2 Kısmi İntegrayon Yöntemi:
U ve v ile, x’in bir [a,b] aralığında sürekli türevleri olan iki fonksiyonunu gösterelim.
uv çarpımının diferensiyeli
d(uv) = udv + vdu ‘ dır. Buradan
udv=d(uv)-vdu
yazılır. Bu bağlantının iki tarafının belirsiz integralleri birbirine eşittir:
∫udv = ∫d(uv) – vdu veya
∫udv = uv – ∫vdu ‘ dur.
Kısmi integrasyon metodu bu formül ile verilmiştir ve yöntemin esası hesaplanması istenilen
∫ udv yerine hesaplanması daha kolay olabilen
∫ vdu belirsiz integralini kaymayı mümkün kılar.
II. BELİRLİ İNTEGRAL
II.1 Belirli İntegralin Tanımı: f(x) , x = a dan x = b’ye kadar olan aralıkta sürekli bir fonksiyon olsun. Bu aralığı , apsisleri a, ,….,xn - 1, b olan n parçaya bölelim. Aralıkların boyları,
, …. , ∆xn olsun. Bu aralıkların her birinde x’in x’1, x’2 , x3’…., x’n gibi herhangi
değerleri alalım f(x)’in x = a , x=b imitleri arasındaki belirli integrali diye:
f(x) dx = ℓim f(x ∆x, + ℓ( ’) x2+… + f( 1)
n→ 8

= ℓim ∑ f(xi1) xi
n→ 8
=| ∫ f(x) dx| b = F(x) b = F(b) – F(a)
Ya denir. Buradaki F(x) fonksiyonu türevi f(x) olan bir fonksiyondur.
II.2.Belirli İntegrale Ait Başlıca Teoremler
B f1(x) + f2(x) +….+ fn (x) dx= f1 (x) dx + b f2(x) dx +…+ b fn (x) dx
k.f (x) dx = k. B f(x) dx
f (x) dx = - a f(x) dx
f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx
f(x) dx = (b-a)f(x1)
f(x)dx = Lism f(x) dx
III. İNTEGRALLERİN HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
III.1.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
III.1,1.Dairesel Fonksiyonlar (Trigonometrik Foksiyonlar) cinsinden
Rasyonel Olarak İfade Edilen Fonksiyonların integrali
(Yarım Açı Metodu)
P(x,y), Q(x,y), x ve y’bir polinom olmak üzere

I.1 R (x,y), x veya y’li rasyonel fonksiyon ise R(sinx, cosx,),sinx ve cosx li rasyonel bir fonksiyondur.
Trigonometriden sinx= , cosx= olduğu biliniyor.
R rasyonel bir fonksiyon olmak üzere
∫R (sinx,cosx) dx integrali u = tan değişken dönüştürme ile R , u’nun rasyonel fonksiyonu
Olmak üzere ∫R,(u )du şekline dönüşür.
Gerçekten x = 2Arctonu
dx =

sinx =
Tan
COSX =
eşitlikleri kullanılarak ∫R(sinx , cosx) dx integrali rasyonel kesirlerin integraline dönüşmüş olur.
I.2. ∫sinax.coobxdx, ∫sinax.sinbxdx , ∫cosax coobx şeklinde integraller
Bu integrali almak için
Sinax . Sinbx = [cos(a-b)x- cos (a+b)x]
sinax . cosbx = [ sin(a-b)x – sin (a+b)x]
Sinax . cosbx = [cos (a-b)x- cos(a+b)x]