Oranli Sayilar

Oranlı Sayılar , (rasyonel sayılar veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır.Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir. kümesi genelde şöyle tanımlanır:

(a ve b tam sayı ve sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara oranlı sayı denir)

ve veya eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu ve tamsayılarının ortak böleninin olmadığı ifadesidir. Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü veya veya şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler.Oranlı sayılar kümesi , tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yani .Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları olurlar. Oranlı sayı ise basitçe şeklinde tanımlanır.Tanımda paydanın sıfır olmama şartı ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.Pozitif rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesiile gösterilir.

Örneğin

Dörde bölünüp, dörtte biri kesilip alınmış ve geri kalan dörtte üçü gösterilen bir yuvarlak pastaYandaki şekilde,bir bütün yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3de 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4’e) payda denir. Bu kesir, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

Oranlı sayıların cebirsel özellikleri olmak üzere: Toplama belitleri :Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse, paydalar eşitlenir. Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.
Tam sayılı kesirler toplanırken , bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

Kapalılık özelliği
İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

Toplamsal birim öğe (Etkisiz eleman özelliği)
bir oranlı sayı ise olduğunda toplamanın birim öğesidir ve ile gösterilir.
”0” tam sayısına, rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.

Toplamsal tersinir öğe
ve iki oranlı sayı olsun. Eğer ise bu iki sayı birbirinin toplamsal tersidir.
Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

Toplamada değişme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

Toplamada birleşme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

Toplamanın çarpma üzerine dağılma özelliği (sağdan dağılma)

Çarpma belitleri :İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.
Tam sayılı kesir biçiminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.
Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.

Örneğin

Kapalılık özelliği
İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Yutan eleman
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır. ”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

Çarpımsal birim öğe (Etkisiz eleman)
bir oranlı sayı ise olduğunda çarpmanın birim öğesidir ve ile gösterilir.
rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

Çarpımsal tersinir öğe (Ters eleman)
ve iki oranlı sayı olsun. Eğer ise bu iki sayı birbirinin çarpımsal tersidir.
, Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

Çarpmada değişme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

Çarpmada birleşme özelliği
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği (soldan dağılma)
, Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

Çarpma işleminin çıkarma işlem üzerine dağılma özelliği
, Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
Çıkarma belitleri :İki rasyonel sayının farkı bulunurken, eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersidir.

Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Bölme belitleri İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünen rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif; ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.
(-1) tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.
Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.
Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.
Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.
Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = pay . payda” ilişkisi vardır.
Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.
Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.
Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.
Oranlı sayıların eşitliği [değiştir]İki oranlı sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının oranlı olmasıyla anlaşılır. olmak üzere ve iki oranlı sayı ise bu iki sayı ancak olduğunda eşittir.

Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkarsanabilir. İki oranlı sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten koşulunu içermekteydi.

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük) [değiştir] Paydaları eşit olan rasyonel sayılar [değiştir]Paydaları eşit olan rasyonel oranlar icin payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.

Örneğin

Burada paydalar eşit ve 20dir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sagdaki pay 3 den daha büyük oldugu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.

Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:

Payda 20ye eşit olup sağda ki negatif pay değeri -3, sağdaki negatif pay değeri olan -7den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.

Arada olma İki rasyonel sayı arasına bir ya da birkaç rasyonel sayı yerleştirme işlemine denir.