|
|
|
Tanım sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve │x│ ile gösterilir.
x , R nin elemanıdır ve │x│ ={x, x > 0 ise {-x,x <0> 0 ise {-f(x),f(x)< 0 ise
Örnek: x =-3 için │x-5│ - │x+2│ ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözüm: │-3-5│ - │-3+2 │ = 8-1=7
Örnek: a<b<0olduğuna göre, │a+b│ - │a-b │ ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: │a+b│ - │a-b│ = -(a+b) -[ -(a-b) ] =-a-b+a-b =-2b
ÖZELLİKLERİ
a,b elemandır R için 1) │a│≥ 0 dır 2) │a │ = │ -a│ 3) - │ a│≤a ≤│a│ 4) │a.b│ = │a│.│b │ 5) b≪ 0 için │a/b │= │a│ / │b │ 6) │IaI-IbI│≤│a+b│ <9474> 0,x elemanıdır R ve │x│< a ise -a <x <a>0,x elemanıdır R,│x│≥ a ise x≥ a veya x ≤ -a dır. 10)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI 11)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a 12)I f(x) I < a ise -a< f(x) <a> a ise f(x) > a U -f(x) > a
İSPATLAR
Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0 a > 0 ise IaI = a >0 a <0>0 dır. O halde IaI > 0 dır. Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır. Öz.6) a elemanıdır R için -IaI ≤ a ≤ IaI b elemanıdır R için -IbI ≤ b≤ IbI + -IaI-IbI≤a+b≤IaI+IbI O halde Ia+bI < IaI+IbI dir. Öz.7) a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi. Ia nI=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaIn dir. (n tane) ( n tane ) Öz.3)a sayısı için a<0>0 durumlarından biri vardır. a)a <0> 0 olduğundan -IaI < 0 dır. -IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır. b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a <IaI> 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır. -IaI≤ 0≤ IaI = a ise -IaI < a < IaI dır.
MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz. Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur. 1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5 3x = 12 3x = 2 x = 4 x = 2/3 Ç={4,2/3}
Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır? Çözüm: Ix-7I = 7-x ise x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir. O halde 8 tane doğal sayı vardır. Soru: = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ?
Çözüm: = 2
5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2 5-2x = 6 veya 5-2x = -6 x = -1/2 veya x = 11/2 Ç ={-1/2,11/2}
Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir? Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5
4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5 I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9
2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm
x = 2 x = 1
O halde x+x = 2+1 = 3 olur. Uyarı:Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme () olur.
MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER
Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7 =4<x<10> 2 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7 ***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.
Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3 = -1 < Ix-5I <5>-1 eşitsizliği daima doğrudur. Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5 = 0 < x < 10 Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır.
Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır?
Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2 = -2+7 < 2x < 2+7 = 5 < 2x < 9 = 5/2 < x <9> -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.
Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir?
a) 0<x<2 b) -2<x<4 c) -1<x<0 d) 0<x<2 e) 2<x<4 Çözüm: I 3-3x I<9 = -9 < 3-3x < 9 = -9+3 < 3x < 9+3 = -6 < 3x < 12 = -6/3 < x < 12/3 = -2 < x < 4 ( Cevap B dir.)
Soru: 1 < Ix-2I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? Çözüm: 1 < Ix-2I < 3 = 1 < x-2 < 3 = 1+2 < x < 3+2 = 3 < x <5> -2<x<2> x > 2 veya x <2> x-1=3 veya x - 1 = -3 x = 4 veya x = -2 dir. Soru 6: a<b<0<c> x - 5 = 3 veya x -5 = -3 tür. x = 8 veya x = 2 x = 8 veya x =- 8 veya x = 2 veya x =- 2 dir. Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir. Soru 8: ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur. x-1 = - 10 olamayacağından kök yoktur. x-1 = 2 ise x - 1 = 2 veya x - 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir. Ç.K = {-1,3}
Soru 9: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur. *** a elemanıdır R için IaI > 0 dır. Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir. Soru 10: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz. Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10
Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10 Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5 Ç = {O} x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14
Soru11: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır? a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14
Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8
I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8 Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13 Ç = {O} x-1 = 3 veya x-1 = -3 x = 4 veya x = -2 x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)
Soru 12: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır? a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12
Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7
Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7 Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4 Ç = {O} x-2 = 10 veya x-2 = -10 x = 12 veya x = -8 x+x = 12-(- = 4 ( Cevap B dir.)
Soru 13: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9
Çözüm: I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I
= I 7-[3-5] I = I 7-(-2) I = I 7+2 I = I 9 I = 9
Soru 14: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir? a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2
Çözüm: I Ix-2I-5 I
Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1 Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4 x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4 x = 8 x = -4 x = 6 x = -2
Soru 15: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999) Çözüm: Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4 = -6 < x < 2 Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.)
Soru 16: IxI <6> x = 2y- 2 dir. x <6> 2y - 2 6 => -6 2y - 2 < 6 dır. Buradan, -4 < 2y <8> -2 < y < 4 bulunur. Bu koşulu sağlayan y tamsayıları -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 olup 7 tanedir. Cevap: A'dır.
Soru 19:x+24 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (1999-ÖSS)
ÇÖZÜM x+24 ise < 4 ise -4 < x + 2 < 4 -4-2<x+2-2<4-2 -6 < x < 2 x = -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2 olup 9 tane tamsayı değeri vardır. Cevap: B'dir.
Soru 20: x < 0 olmak üzere x-|x-8| - 8 ifadesi aşağıªdakilerden hangisine eşittir? A)16 B)-2x C)-4x D)-2x+16 E)-4x+16 (1999-ÖSS)
ÇÖZÜM x-|x-8| - 8 = ? x-8| = -(x- = -x+8 (-) = x-(-x+ - 8 |2x-8|-8 (-) = - (2x - - 8 = -2x + 8 - 8 = -2x Cevap: B'dir.
Soru22: |x-4| + |x| = 8 denklemini sağlayan x değerleªrinin toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 (2001-ÖSS)
ÇÖZÜM Mutlak değerin içini 0 yapan değerler x = 4 ve x = 0 dır. x <0> x = - 2 dir. 0 < x <4> 4 için, x - 4 + x = 8 olur. 2x = 12 => x = 6 dır. x değerleri toplamı -2 + 6 = 4 olur. Cevap: B'dir.
Soru 23: x < 0 < y olduğuna göre 3. |x-y| |y+|x| | y+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)-3x B)-3y C) 3 (x + y) D) - 3 E) 3 (1995-ÖSS) ÇÖZÜM 3 |x - y| ifadesinde (x - y) < 0 olduğundan 3 |x - y| = - 3 (x - y) olur. Benzer şekilde x<0> |x| = - x olur. | y + |x| | = |y-x| = y-x + 3(x-y) = -3(x-y) =3 y-x -(x-y) Cevap: E'dir...
|