Karmaşık Analiz nedir - Karmaşık Analiz hakkinda bilgiler


Karmaşık analiz, ya da başka bir deyişle kompleks analiz, karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Geleneksel olarak karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi olarak da atfedilir. Matematiğin sayılar teorisi, uygulamalı matematik gibi birçok alanında ve fizikte kullanılır.
Karmaşık analiz bilhassa, genel olarak holomorfik fonksiyonlar ve meromorfik fonksiyonlar diye iki ayrı sınıfa ayrılan karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarla ilgilidir. Herhangi bir analitik fonksiyonunun gerçel ve sanal kısmının Laplace denklemini sağlamak zorunda olması sayesinde karmaşık analiz iki-boyutlu fizik problemlerine geniş bir şekilde uygulanabilir.

Tarihi

Karmaşık analiz kökleri 19. yüzyıla ve hatta karmaşık sayıların kullanımına bağlı olarak biraz daha öncesine uzanan klasik bir matematik dalıdır. Karmaşık sayıları ilk kullanan 16. yüzyılda kuadratik ve kübik denklemleri çözerken Cardano olmuştur. 18. yüzyılda karmaşık sayıları içeren fonksiyonları bulan ise Euler olmuştur. Karmaşık sayıları içeren teknikler arttıkça, gerçel değerli fonksiyonlar kuramındaki çoğu problemin karmaşık sayılar kullanılarak daha kolay bir şekilde çözüldüğü gözlemlenmiştir. Ancak, yine de karmaşık sayılar 19. yüzyılın ortasına kadar istenen ünü yakalayamamış ve genel bir uzlaşım alanı olmamıştır. Örneğin, Descartes denklemlerin karmaşık köklerini reddetmiş ve bunlara "sanal (imajiner)" terimini uygun görmüştür. Euler de karmaşık sayıların "sadece hayalde var olduğu" kanısındaydı ve denklemlerin karmaşık köklerinin denklemin aslında hiçbir kökü olmadığını göstermekte yararlı olduğunu düşünmüştü.
Karmaşık sayıların genel kabulü ve bu kabul ile karmaşık analizin doğması aslında büyük ölçekte Gauss'un karmaşık sayıları geometrik bir şekilde temsil edip geliştirmesiyle başlamıştır. Gauss'un çalışmalarının ardından karmaşık analiz matematikte yeni gözde bir alan olarak doğmuş ve zamanın üretken matematikçileri olan Cauchy, Weierstrass ve Riemann'ın da katkılarıyla birçok alanla bağlantılı bir matematik disiplini haline gelmiştir. Ancak, her ne kadar Gauss'un çalışmaları karmaşık analizi yeni bir alan haline getirmiş olsa da, karmaşık sayıların ilk tam ve matematiksel kesinlik içindeki ifadesi Gauss'un çağdaşı Hamilton tarafından verilmiştir.
Geleneksel olarak karmaşık analizin, bilhassa açıkorur gönderimler teorisinin, fizikte birçok uygulaması mevcuttur. Karmaşık analiz ayrıca analitik sayılar teorisinde de kullanılmaktadır. Modern zamanda, karmaşık dinamiklerin ortaya çıkmasıyla ve holomorfik fonksiyonların yinelemesi yardımıyla üretilen fraktal resimleri (ki en popüleri de Mandelbrot kümesidir) ile tekrar popüler olmuştur. Karmaşık analizin bugünkü önemli uygulamalarından biri açıkorur değişmez kuantum alan teorisi olan sicim teorisidir. Ayrıca birçok mühendislikte, özellikle de kuvvet mühendisliğinde, karmaşık analizin kullanımı ve uygulaması mevcuttur.

Karmaşık Fonksiyonlar
Karmaşık fonksiyon bağımsız değişkenin ve bağımlı değişkenin her ikisinin de karmaşık sayı olduğu bir fonksiyondur. Tam olarak, karmaşık bir fonksiyon tanım kümesinin karmaşık düzlemin altkümesi olduğu ve yine görüntü kümesinin karmaşık düzlemin altkümesi olduğu fonksiyondur. Herhangi bir karmaşık fonksiyonda hem bağımsız değişken hem de bağımlı değişken gerçel ve sanal kısımlara ayrılabilir:

Başka bir deyişle, karmaşık değişkenli türevlenebilir bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları harmonik fonksiyondur.

Holomorfik Fonksiyonlar
Holomorfik fonksiyonlar karmaşık düzlemin açık bir altkümesinde türevlenebilir olan karmaşık fonksiyonlardır. Karmaşık türevlenebilirlik alışılmış gerçel türevlenebilirlikten daha güçlü sonuçlara sahiptir. Örneğin, gerçel türevlenebilir fonksiyonların hepsi sonsuz kere türevlenebilir değilken holomorfik fonksiyonlar sonsuz kere türevlenebilirdir. Üstel fonksiyon, trigonometrik fonksiyonlar ve tüm polinomları da içermek üzere çoğu elemanter fonksiyon holomorfiktir.

Önemli Sonuçlar
Karmaşık analizdeki sonuçlar birkaç gruba ayrılabilir. Her grubun sonucu birikimli bir şekilde kendi grubundaki ilişkin sonuçlardan faydalanan önemli sonuçlar içerse de; yine de bu her grubun birbiriyle belli temel sonuçlar vasıtasıyla bağlantısı vardır ve bazı önemli sonuçlar da bu ana grupları temel alan sonuçlardan oluşmaktadır.

İntegral temsilleri ile ilgili sonuçlar
Karmaşık analizdeki önemli merkezi araçlardan biri de eğrisel integraldir. Kapalı bir yolun sınırladığı alanın içindeki her yerde holomorfik olan bir fonksiyonun bu kapalı yol üzerindeki integrali sıfırdır. Bu ifade Cauchy integral teoremi olarak da bilinir. Holomorfik bir fonksiyonun bir daire alanı (disk) içinde aldığı değerler bu disk üzerinde belli bir eğri (yol) integrali vasıtasıyla hesaplanabilir. Bu ifade de Cauchy integral formülü olarak bilinir.

Seri temsilleri ile ilgili sonuçlar
Eğrisel integraller karmaşık düzlemde çoğu zaman karışık gerçel integralleri çözmek ve belirlemek amacıyla kullanılır ve burada da kalıntı (rezidü) teorisi diğer teoriler arasında en kullanışlı olanıdır (Kontür integral metodları'na bakınız). Bir fonksiyon belli bir noktada bir kutup veya tekillik sahibi ise, yani, bu noktada fonksiyonun değerleri birden patlıyorsa veya sonlu bir değer almıyorsa, o zaman bu fonksiyonun bu noktadaki rezidüsü (kalıntısı) bu kutupta hesaplanabilir ve bu rezidüler fonskiyonla alakalı eğrisel integralleri hesaplamak için kullanılabilir. Rezidü teoremi'nin güçlü olan yanı da budur. Holomorfik fonksiyonların esas tekilliklerin civarındaki davranışları ise Weierstrass-Casorati teoremi vasıtasıyla tanımlanır. Sadece kutuplara sahip olup ancak esas tekilliğe sahip olmayan fonksiyonlara meromorfik fonksiyon denir. Laurent serileri, Taylor serileri'ne benzer olup, fonksiyonların tekillik civarındaki davranışlarını öğrenmek için kullanılırlar.
Tüm karmaşık düzlemde holomorfik olan sınırlı bir fonksiyon sabit olmalıdır. Bu ifade Liouville teoremi olarak bilinir. Bu teorem karmaşık sayılar cisminin cebirsel kapalı olduğunu ifade eden Cebirin temel teoremi'nin doğal ve kısa bir kanıtına ulaşmak için kullanılabilir.

Riemann yüzeyleri ile ilgili sonuçlar

Holomorfik fonksiyonların bir diğer önemli özelliği ise basit bağlantılı bir bölgede holomorfik olan bir fonksiyonun değerlerinin tamamiyle daha küçük alt bölgelerdeki değerleriyle belirlenebilmesidir. Daha büyük bölgedeki fonksiyon daha küçük bölgedeki fonksiyonun değerlerinin analitik devamı olarak adlandırılır. Bu, ilk başta sadece sınırlı bir bölgede yakınsayan sonsuz toplamlar olarak tanımlanan Riemann zeta fonksiyonu gibi bazı fonksiyonların tanımlarının hemen hemen tüm karmaşık düzleme genişletilmesine izin verir. Bazen, doğal logaritma durumunda olduğu gibi, holomorfik bir fonksiyonu karmaşık düzlemdeki basit olmayan bağlantılı bir bölgeye analitik olarak devam ettirmek imkansızdır; ancak yine de yakın bir şekilde ilişkin olan ve Riemann yüzeyi adı verilen bir yüzeye devam ettirmek imkanı da vardır.

Yüksek boyutlardaki sonuçlar
Bunların hepsi tek değişkenli karmaşık analizde geçerlidir. Ayrıca, kuvvet serileri gibi analitik özelliklerin aynı kaldığı; ancak açıkorurluk gibi çoğu geometri özelliğinin geçerli olmadığı birden fazla karmaşık boyutta karmaşık analizin çalışıldığı zengin bir çok değişkenli karmaşık analiz dalı da mevcuttur. Tek boyutlu karmaşık analizde belki de en önemli sonuç olan ve karmaşık düzlemdeki belli bölgelerde açıkorurluk ilişkisini ifade eden Riemann tasvir teoremi daha yüksek boyutlarda geçerli değildir. 

Teşekkürler..

Emeğine sağLık, teşekkürLer.