KAREKÖKLÜ SAYILAR
İRRASYONEL (RASYONEL OLMAYAN) SAYILAR
Rasyonel sayılar kümesi, sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar vardır. Şimdi bu sayıları inceleyelim.
Karesi 2 olan a sayısını ele alalım.
a2 = 2 ise, a sayısını* şeklinde gösterebilir ve “karekök iki” diye okuruz. Acaba bu sayısı hangi sayılar arasındadır?
*
Bunu inceleyelim.
12 = 1 x 1 = 1
(1,5)2 = 1,5 x 1,5 = 2,25 tir.
Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır, sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir. Çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde, rasyonel olmayan sayılarına irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir. “I” ile gösterilir.
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine de reel sayılar (gerçek sayılar) kümesi denir. R ile gösterilir.
*
*
A. TANIM
a pozitif reel sayı olmak üzere,
ifadesine kareköklü ifade denir.
*
*
B. KAREKÖK ALMA
Verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi karekök alma işlemidir.
Bazı sayıların karesini bilmeniz sizlere sorulan soruları cevaplamakta yarar sağlayacaktır.
*
*
C. KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1. Toplama - Çıkarma
Karekök içindeki sayıların birbirine eşit olduğu ifadelerde kat sayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç kareköklü ifadenin kat sayısı olur.
*
2. Çarpma
a ve b, birer pozitif reel sayı olmak üzere;
*
*
3. Bölme
Uygun koşullarda,
*
*
D. PAYDAYI RASYONEL YAPMA
Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifade de, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapma denir.
Uygun koşullar altında;
*
*
E. KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
Pozitif kareköklü sayılarda, karekök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Şayet karekökün dışında karekökün kat sayısı varsa ilk önce bu kat sayı içeri alınır, ondan sonra sıralama yapılır.Karaköklü Sayılar
Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
·n = 2 için Öa : Karekök a,
· n = 3 için Öa : Küpkök a,
· n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not:Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.
Örnekler
· x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.
Soru-1
A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm
Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
Þ x³3 ve 5³x
Þ 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması
Öa = **/n dir.
Örnek:
·Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm
Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
Þ 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
Þ x/3 = (1 – 2x)/(2)
Þ x = 8/3 dir.
Köklü İfadenin Üssünün Alınması
Tanımlı olduğu durumlarda,
(Öa )m = Ö**
Örnekler:
· (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
· (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n Î Z+ olmak üzere,
a , n tek sayı
Öan =
½a½ , n çift sayı
Örnekler:
·Ö125 = Ö53 = 5,
·Ö-8 = Ö(-2)3 = -2
·Ö1/32 = Ö(1/2)5 = ½
·Ö16 = Ö24 = ½2½ = 2
·Ö(Ö3 – 2)2 = ½Ö3 - 2½ olur.
Burada Ö3 - 2 < 0 olduğundan,
½Ö3 - 2½ = -(Ö3 – 2) = 2 - Ö3
·Ö26 = Ö(22)3 = 4
·Ö27/32 = Ö(3.32)/(2.42) = 3/4Ö3/2
Soru-3
Ö243 / Ö0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
Ö243 / Ö0,0048 = Ö3.34 / Ö48.10-4 = 3.Ö3 / Ö3.24.(10-1)4
= 3.Ö3 / 2.10-1.Ö3
= 3.10 / 2 = 15 tir.
Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.
a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)
Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.
Örnekler:
·Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6
· x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
· -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.
Soru-4
A=(Ö5-3)Ö7+3Ö5 olduğuna göre, A kaçtır?
Çözüm
Ö5-3 < 0 olduğundan,
A = (Ö5 – 3)Ö7+3Ö5
= -(3-Ö5)Ö7+3Ö5
= -Ö(3-Ö5)2 .(7+3Ö5)
= -Ö(14-6Ö5)(7+3Ö5)
= -Ö2(7-3Ö5).(7+3Ö5)
= -Ö2[72 – (3Ö5)2]
= -Ö2.4 = -2Ö2 dir.
Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k Î Z+ olmak üzere
Öan = Öan.k = Öan/k
Örnekler:
·Ö32 = Ö25 = Ö2
·Ö3 = Ö32 = Ö9
·Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
·Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.
Soru-5
x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm
X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = Ö2 = Ö26 = Ö264
y = Ö3 = Ö34 = Ö81
z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
125>81>64 olduğundan z>y>x tir.
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.
Örnekler:
·Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
·Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)
· 3Ö5 +Ö5 -2Ö5 = (3+2-1)Ö5 = 2Ö5 tir.
Soru-6
Ö48 + Ö12 - Ö27/4 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Ö48 + Ö12 - Ö27/4 = Ö3.42 + Ö3.22 - Ö(3.32)/(22)
= 4Ö3 + 2Ö3 – 3/2Ö3
= (4+2-3/2)Ö3 = 9/2Ö3 tür.
Soru-7
Ö8 + Ö-128 + Ö16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Ö8 + Ö-128 + Ö16 = Ö23 + Ö2.(-4)3 + Ö24
= Ö2 - 4Ö2 + Ö2
= (1-4+1)Ö2
= -2Ö2
Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:
Öa . Öb = Öa.b
Öa / Öb = Öa/b
Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn
Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.
Örnek:
· (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.
Soru-7
Ö2 . Ö16 işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
Ö2 . Ö16 = Ö2 . Ö24
= Ö25 . Ö24.3
= Ö25 . 212 = Ö217
= Ö215 . 22 = 2Ö4 tür.
Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.
Örnekler
· a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
· 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2
· 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)
2-)a/(Öb-Öc) şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb+Öc ile,
a/(Öb+Öc) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb-Öc ile çarpılır.
(x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
(Öb - Öc)(Öb + Öc) = (Öb)2 – (Öc)2 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
a/(Öb-Öc) = [a/(Öb-Öc)].[(Öb+Öc)/(Öb+Öc)] = [a(Öb+Öc)] / [b-c]
a/(Öb+Öc) = [a/(Öb+Öc)].[(Öb-Öc)/(Öb-Öc)] = [a(Öb-Öc)] / [b-c] dir.
Örnek:
· 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
· 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3
Soru-8
3/Ö4-Ö7 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
3/Ö4-Ö7 = (3/Ö4-Ö7).(Ö4+Ö7)/(Ö4+Ö7)
= (3Ö4+Ö7)/Ö42 – (Ö7)2 = (3Ö4+Ö7)/Ö9
= Ö4+Ö7 dir.
Not:n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır.
Soru-8
1/(Ö2-1) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(Ö2-1) = [1/(Ö2-1)].[(Ö2+1)/(Ö2+1)]
= [Ö2+1]/[(Ö2)2-11] = (Ö2 + 1) / (Ö2 – 1)
= [(Ö2+1)/(Ö2-1)].[(Ö2-1)/(Ö2-1)]
= (Ö2+1)(Ö2+1) dir.
3-) a/Öb - Öc şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öb2 + Öbc + Öc2 ile çarpılır.
(x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(Öb - Öc )(Öb2 + Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 – (Öc )3 = b – c dir.
Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (Öb - Öc ) = [a / (Öb - Öc )].[(Öb2 + Öbc + Öc2 ) / (Öb2 + Öbc + Öc2 )]
= [a(Öb2 + Öbc + c2 )] / [b - c]
a/Öb + Öc şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda Öb2 - Öbc + Öc2 ile çarpılır.
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
(Öb + Öc )(Öb2 - Öbc + Öc2 ) = (Öb )3 + (Öc )3 = b + c dir.
Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
a / (Öb + Öc ) = [a / (Öb + Öc )].[(Öb2 - Öbc + Öc2 ) / (Öb2 - Öbc + Öc2 )]
= [a(Öb2 - Öbc + c2)] / [b + c]
Örnek:
· 1 / (Ö5 - Ö3 ) = [1 / (Ö5 - Ö3 )].[(Ö52 + Ö5.3 + Ö32 ) / (Ö52 + Ö5.3 + Ö32 )]
= [Ö25 + Ö15 + Ö9 ] / [(Ö5 )3 – (Ö3 )3]
= (Ö25 + Ö15 + Ö9 ) / 2
Soru-10
1 / (Ö9 + Ö6 + Ö4) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
1/(Ö9+Ö6+Ö4) = [1 / (Ö32 + Ö3.2 + Ö22 )].[(Ö3 - Ö2 )/(Ö3 - Ö2 )]
= [Ö3 - Ö2]/[(Ö3)3 – (Ö2)3
= Ö3 - Ö2 dir.
İç İçe Kökler
1-) Öx + 2Öy veya Öx - 2Öy şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,
x = a + b
olmak üzere
y = a . b
·Öx + 2Öy = Ö(Öa + Öb )2 = ½Öa + Öb½
a+b a.b
·Öx - 2Öy = Ö(Öa - Öb )2 = ½Öa - Öb½
a+b a.b
Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.
Örnekler:
·Ö4 + 2Ö3 = Ö3 + Ö1 = Ö3 + 1
·Ö7 - 2Ö12 = ½Ö4 - Ö3½ = 2 - Ö3 tür.
Soru-11
Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 işleminin sonucu nedir?
Çözüm 1
Ö3 + Ö5 - Ö3 - Ö5 = Ö[2(3 + Ö5)] / 2 - Ö[2(3 - Ö5)] / 2
= [(Ö6 + 2Ö5) / Ö2] – [(6 - 2Ö5) / Ö2]
= [(Ö5 + 1) / Ö2] – [(Ö5 – 1) / Ö2]
= (Ö5 + 1 - Ö5 + 1) / Ö2
= Ö2
Çözüm 2
Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım
x = Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5
x2 = (Ö3+Ö5 - Ö3-Ö5 )2
x2 = (Ö3+Ö5 )2 +(Ö3-Ö5 )2-2Ö(3+Ö5)(Ö3-Ö5)
x2 = 3 + Ö5 + 3 - Ö5 - 2Ö32-(Ö5)2
x2 = 6 - 2Ö4 Þ x2 = 2 olur.
x = Ö3+Ö5 -Ö3-Ö5 > 0 olduğundan
x = Ö2 dir.
Not:
a>0 , b>0 ve a2>b olmak üzere,
Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] + [Ö(a+Öa2-b)/(2)
Öa+Öb = [Ö(a+Öa2-b )/(2)] - [Ö(a+Öa2-b)/(2)
1-) ÖÖÖa = Öa dır. (m.n.t çift sayı ise a>0 olmalıdır.)
Örnek:
·ÖÖÖ2 = Ö2 = Ö2
Soru-12
Ö2Ö2Ö2 ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.
Ö2Ö2Ö2 = ÖÖ23.2Ö2 = ÖÖÖ220.2
= Ö221 = Ö27 = Ö128 dir.
3-) İç İçe Sonsuz Kökler
a)
ÖaÖaÖa... = Öa
ÖaÖaÖa... = x ÞÖa.x = x
x
Þ x = Öa
Ynt: Karaköklü Sayılar By: AkoXenSeM Date: April 15, 2010, 10:12:59 PM
Paylaşım İçin Teşekkürler
Ynt: Karaköklü Sayılar By: rap_06_unzel Date: May 21, 2010, 08:24:41 PM
ah bu matematikler
Ynt: Karaköklü Sayılar By: melek_03 Date: May 21, 2010, 08:29:29 PM
teşekkürler..
Ynt: Karaköklü Sayılar By: TwiLight Date: May 21, 2010, 08:39:10 PM
Teşekkürler
Ynt: Karaköklü Sayılar By: EmpaThy Date: July 22, 2011, 11:25:00 AM
Emeğine sağLık, teşekkürLer.
Ynt: Karaköklü Sayılar By: refrefref Date: January 02, 2012, 11:36:27 PM
emeğine sağlık
Ynt: Karaköklü Sayılar By: elze Date: January 13, 2012, 10:30:04 AM
dönem ödevimin konusu ve çok ihtiyacım vardı gerçekten çok teşekkürLer
